n  Progetto dei sistemi di controllo

n 1 – Elementi per la progettazione

Il progetto di un sistema in catena chiusa consiste nella realizzazione di un dispositivo capace di adeguarsi alle specifiche espresse attraverso i parametri dei sistemi, cioè:

· errore statico;

· riduzione degli effetti dei disturbi;

· tempi di risposta al gradino (assestamento, ritardo, salita);

· stabilità (rispetto dei margini di fase e guadagno);

· banda passante.

Tra le molteplici procedure di progetto, relative a sistemi continui, lineari, tempo invarianti, si sviluppa quella che si origina da un sistema già esistente e costituito da:

a) un sistema di controllo; b) un sistema controllato; c) un elemento di reazione (trasduttore).

Il progetto consiste nel dimensionamento di un elemento correttore capace di portare il sistema a soddisfare le specifiche richieste.

L’elemento correttore è rappresentato da un dispositivo elettronico (rete correttrice o regolatore), pertanto viene inserito nella parte del sistema in cui la gestione avviene attraverso segnali elettronici, indipendentemente dal tipo di grandezze fisiche elaborate dal sistema controllato (fig. 1).

Fig. 1 – Sistema di controllo in catena chiusa con elemento correttore avente F. di T. GR(s); i segnali sono in funzione di s, anche se per brevità non è indicato.

La sequenza dei passi da seguire per la progettazione è:

1. Errore statico: la prima esigenza da soddisfare riguarda le specifiche statiche, che com’è noto si ottengono dalla risposta a regime al segnale a gradino. Il legame tra l’errore statico a regime e i parametri del sistema, è: ;

2. Disturbi: la causa principale di errore sono i disturbi e una specifica tipica riguarda la limitazione degli effetti di un disturbo, al di sotto di un valore dato. I disturbi si possono dividere in due tipi:

- additivi: se hanno valore a regime k_d  e sono sull’uscita del sistema (o vi sono trasferiti), il loro effetto sull’uscita è dato da: ;

ove nel calcolo a regime si utilizzano i guadagni statici:  e  in cui G’(s) ed H’(s) sono le funzioni di

        trasferimento della ramo di andata e di quello di reazione, private di eventuali poli nulli.

         - parametrici: la sensibilità parametrica del guadagno d’anello alle variazioni di G(s) vale:

 .

In genere è noto l’errore causato da un disturbo nel sistema non controllato:  ed un

parametro di progetto è rappresentato dalla riduzione dell’errore ad un valore: ; il pedice R

 fa riferimento alla situazione con regolatore. Il legame tra il guadagno in catena aperta del sistema a regime e la riduzione del disturbo, è: ; per sicurezza si maggiora il risultato  del 20%, cioè: .

3. Tempi di risposta e banda passante: i tempi di risposta risultano dall’analisi della risposta al gradino; la banda passante è invece un parametro tipico della risposta in frequenza, ma è anche legata al tempo di risposta t_r dalla relazione:  (facendo coincidere la frequenza di taglio superiore f₂ con la banda).

    In un sistema in catena chiusa in regime sinusoidale, con funzione di trasferimento ad anello W(jω), la banda passante (espressa in rad/s) coincide con la pulsazione di transizione ω_T (corrispondente all’intersezione del diagramma dei moduli di Bode con l'asse delle ascisse) della F. di T. in catena aperta G(jω) H(jω).

4. Stabilità: la condizione di stabilità è legata ai margini di guadagno e fase; tra le condizioni di progetto vi è il rispetto di prefissati valori di questi margini.

n 2 – Metodi di correzione

Per correggere i margini di guadagno e fase, portandoli all’interno dei valori di sicura stabilità, il modo di intervento più semplice è costituito dalla riduzione del guadagno in catena aperta G(s)H(s).

La riduzione del guadagno in catena aperta interviene tuttavia anche sugli altri parametri del sistema e questo non sempre è vantaggioso; in particolare la diminuzione del guadagno statico migliora la stabilità ma aumenta l’errore statico e diminuisce la larghezza di banda, rallentando la risposta del sistema.

I limiti che comporta la correzione dei sistemi mediante la riduzione del guadagno statico, possono essere superati con due soluzioni:

- le reti correttrici: sono circuiti elettronici che vengono progettati in funzione delle specifiche imposte al sistema da correggere;

- i regolatori industriali: sono dispositivi commerciali che, grazie ad elementi variabili inseriti nella loro struttura, possono essere adattati alle esigenze del sistema in cui vengono inseriti.

La differenza tra le reti correttrici e i regolatori industriali, consiste essenzialmente nel fatto che le prime richiedono il progetto specifico in funzione del sistema, i secondi hanno una struttura universale e si adattano alle esigenze del sistema specifico grazie ai componenti variabili.

n 3 – Reti correttrici

Le reti correttrici sono circuiti di tipo resistivo-reattivo progettati in modo da intervenire sul guadagno in catena aperta G(s)H(s) con criteri selettivi che permettono l’adeguamento dei margini di fase e di guadagno ai fini della stabilità, influendo in misura minima sugli altri parametri del sistema, almeno nel campo di valori di ω in cui il sistema stesso opera.

Il progetto delle rete correttrici viene effettuato in termini armonici (cioè in regime sinusoidale con s ≡ jω ), perché la verifica della stabilità dei sistemi si appoggia ai criteri di Nyquist e Bode, basati sull’analisi del comportamento armonico del guadagno in catena aperta, cioè di G(jω)H(jω). Le reti standard sono riportate in tab. 1.

Tab. 1 – Le reti correttrici

n 4 – Regolatori industriali

I regolatori industriali sono dispositivi elettronici i cui componenti svolgono le seguenti funzioni:

- generazione di segnale di riferimento;

- nodo di confronto;

- nodo sommatore;

- amplificazione;

- reti correttrici

Alla descrizione precedente, che fa riferimento ad un regolatore capace di esplicare tutte le funzioni  descritte nel seguito (P, PI, PD, PID), corrisponde lo schema a blocchi di fig. 2.

Fig. 2 – Schema a blocchi di un regolatore industriale.

Gestendo in modo opportuno i parametri k_P, k_I, k_D, il sistema di fig. 2, che ha F di T.:

può essere utilizzato per svolgere una delle funzioni indicate in tab. 2.

(¹) Nelle relazioni integrali di tabella si opera nell’ipotesi di condizioni iniziali nulle, cioè: s_m(0) = 0  : segnale d’uscita del regolatore nullo per t = 0

Tab. 2 – Segnale d’uscita nel tempo e F. di T. dei diversi tipi di regolatori industriali.

· Caratteristiche dei tipi di regolazione

a) Azione proporzionale: P

All’aumentare di k_P  produce:

- la riduzione dell'errore a regime;

- un aumento della velocità di risposta;

- l'aumento del rischio di instabilità.

Questo tipo di regolazione può essere utilizzato in sistemi in cui è consentita una differenza abbastanza ampia tra il valore ideale della grandezza controllata e quello effettivamente ottenibile.

Il regolatore proporzionale migliora la risposta del sistema intervenendo sul guadagno; se non si hanno problemi di stabilità (questo accade quando il sistema ha un polo dominante), si può correggere l'errore a regime aumentando il guadagno. Non è tuttavia possibile annullare l'errore perché il sistema non opera su errore nullo. L'aumento eccessivo del guadagno porta comunque a funzionamento oscillatorio smorzato o instabilità.

b) Azione integrativa: I

- Introduce un polo nell'origine del sistema, quindi aumenta di un'unità il tipo di sistema. Da questo deriva che un sistema che ha errore costante rispetto a un segnale test, lo annulla;

- il polo nullo aumenta il rischio di instabilità del sistema.

c) Azione derivativa: D

- Permette di correggere rapidamente le variazioni del segnale errore, perché è in grado di reagire alla velocità di variazione del segnale medesimo;

- non è sensibile al segnale errore se questo rimane costante, pertanto si utilizza sempre associato ad un regolatore proporzionale o proporzionale-integrativo.

d) Azione proporzionale-integrativa: PI

- Aumenta la precisione del sistema ma non lo pone a rischio di stabilità perché nella funzione di trasferimento: (tab. 2), lo zero reale compensa l'effetto del polo nullo ai fini della stabilità;

- all’aumentare di k_P  produce un aumento della velocità di risposta.

Questo tipo di regolazione è adatta a sistemi soggetti a lenti disturbi sull'uscita, quali ad esempio variazioni del carico in attuatori a immagazzinamento di energia (riscaldatori, grossi motori).

Il regolatore PI è detto anche compensatore di ritardo perché interviene sulle variazioni lente del segnale errore e opera su variazioni ampie del carico perché è  in grado di dar luogo a rilevanti cambiamenti della grandezza controllata. Rispetto al solo regolatore proporzionale permette l'annullamento dell'errore statico.

e) Azione proporzionale-derivativa: PD

- Ha un comportamento analogo a quello di un regolatore proporzionale, ma è in grado di intervenire con più rapidità ad una variazione del segnale errore;

- è molto sensibile agli effetti del rumore in alta frequenza;

Questo tipo di regolazione è adatta a sistemi soggetti a rapidi disturbi sull'uscita, quali ad esempio variazioni del carico in piccoli motori di servocomandi.

Il regolatore PD è detto anche compensatore di anticipo, perché permette di modificare la risposta del sistema anche durante la fase transitoria. Il limite del regolatore è dato dal fatto che, mentre è sensibile alle variazioni del segnale errore, non è sensibile all'errore quando questo si mantiene costante.

f) Azione proporzionale-integro-derivativa: PID

Combina tutti gli effetti dei regolatori precedenti, quindi richiede una messa a punto dei parametri k_P, k_I, k_D, in funzione degli effetti che si vogliono ottenere.

Questo significa che, utilizzato in un sistema, permette di modificare il guadagno, il tipo di sistema, e la correzione della risposta nella fase transitoria.

n 5 – Esercizi

Soluzione

Si utilizza Matlab per ricavare il diagramma di Nyquist ed il margine di guadagno e di fase nei due casi proposti poi, dall’analisi della funzione di trasferimento, si ricava il tempo di salita t_r. I listati dei programmi ed i risultati, sono:

Il sistema è stabile in entrambi i casi, ma con G₀ = 10 non rispetta i valori di sicurezza per M_j  e per M_G, mentre con G₀ = 6 i margini sono sicuramente rispettati.

In fig. 3  sono confrontati  i diagrammi di Nyquist; per quanto riguarda il tempo di risposta del sistema in catena chiusa, si ricordi che la pulsazione di transizione del guadagno in catena aperta coincide con la pulsazione di taglio superiore del sistema in catena chiusa W(jω), per cui si ha:

-    con G₀ = 10:   = 0,90 [Hz] e » 0,39 [s];

-    con G₀ = 6:   = 0,66 [Hz] e » 0,53 [s]; ovvero il sistema risulta più lento.

Fig. 3 I diagrammi sono ricavati unendo i programmi precedenti e visualizzando mediante ltiview entrambe le funzioni f1 ed f2, nella rappresentazione di Nyquist.

2 –  Si realizzi il controllo di velocità  di un piccolo motore in continua per mezzo di un sistema avente lo schema a blocchi riportato in fig. 5, formato da:

·       un sistema amplificatore A, che provvede a trasformare la tensione errore v_e nella tensione e potenza sufficiente al pilotaggio del motore. Per un motore di piccola potenza si effettua un controllo di tipo lineare, utilizzando il Power most IRF520 (V_max = 100 [V], I_max = 9,2 [A]). L’amplificatore ha poli di valore molto più elevato di quelli del motore, pertanto lo si considera una costante numerica A = 10;

·       un motore in continua ad eccitazione indipendente, con:; le caratteristiche commerciali del motore sono riportate in tab. 4.

 

-    velocità nominale:  n = 3000 [rpm = giri/min]; ovvero: = 314 [rad/s];   -    tensione nominale Va0 = 24 [V]; -    corrente nominale Ia0 = 2,5 [A]; -    resistenza d’armatura: Ra = 1,2 [W]; -    costante di coppia: kT = 0,1 [N×m/A]; -    costante di tensione: kE = 10 [V/(1000 rpm)] » 0,1 [V×s/rad]; -    momento d’inerzia: J = 4×10-3 [kgm2];

-    te = 6,8 [ms] costante di tempo elettrica; -    tm = 46 [ms] costante di tempo meccanica;           ove:   ;   -    max variazione di velocità vuoto-carico: -    10 guadagno statico del motore.

Tab. 4 – Caratteristiche di un motore in continua a eccitazione indipendente per controlli.

 

·       l’elemento di reazione H è una dinamo tachimetrica, con funzione di trasferimento costante (per cui H º H₀ = k_D):    = 30×10^-3   [V/(rad/s)]; il segnale di riferimento v_i(t) può variare nel campo 0 ÷ 10 [V] per coprire l’intero campo di regolazione del motore.

Fig. 5 a) schema a blocchi del sistema; b) circuito pratico

Le esigenze cui deve soddisfare il controllo di velocità, sono:

1.    l’errore di velocità vuoto-carico deve ridursi da d = 10% nominale a d_R = 2% con il regolatore;

2.    il margine di fase M_j deve risultare 60°;

3.    il tempo di salita deve risultare t_r £ 0,05 s.

Soluzione

Il problema (che pur riguardando un progetto specifico, ha valenza generale) consiste essenzialmente nel progetto del circuito di correzione G_R(s). Se si utilizza un regolatore commerciale, si può dimensionare con il metodo di  Ziegler – Nichols; se invece (ed è il caso dell’esercizio in esecuzione), si ricorre ad un regolatore progettato per il problema specifico, il progetto si sviluppa in due parti:

1. nel progetto statico, si determina il valore a regime G_R0 rappresentato da una costante, per soddisfare a condizioni relative all’errore statico o alla riduzione dell’effetto dei disturbi;

2. nel progetto dinamico, si determinano anzitutto i parametri dinamici del sistema, assumendo per il circuito di correzione il valore di G_R0 , poi si dimensiona l’eventuale rete correttrice che garantisce la stabilità o la banda passante;

a) Progetto statico

La variazione di velocità vuoto-carico si configura come un disturbo a gradino in uscita, per il quale si richiede che il regolatore effettui una riduzione da d = 10% a d_R = 2%; il legame tra la variazione del disturbo e il guadagno statico del sistema in catena aperta, è:

Per garantire una sicura correzione, questo parametro viene in genere maggiorato del 20%, per cui dalla condizione di correzione del disturbo prodotto dal carico si ricava:

Poiché a regime (fig. 5a) risulta: , sostituendo ed imponendo  la condizione ricavata dalla riduzione del disturbo a regime, si ottiene:

Si ricava pertanto il guadagno a regime del regolatore: G_R0 = 1,6.

b) Progetto dinamico

Si determinano i valori di M_j  e t_r nello schema di fig. 6, con G_R0 = 1,6; la F. di T. del guadagno in catena aperta, vale:

Utilizzando Matlab, con il programma sotto riportato, si ottengono i risultati indicati:

Il sistema è sicuramente stabile e lento (dalla risposta temporale si ricava t_r » 0,1 s); non è quindi necessaria una rete correttrice, ma è possibile ottenere i valori richiesti aumentando il guadagno statico del regolatore; se si porta G_R0 = 2,5 si ottengono infatti esattamente i valori cercati. Questo significa che è sufficiente un  regolatore proporzionale, con k_P = 2,5 e la funzione può essere assolta dall’amplificatore, portandone il guadagno al valore A = 25.

Soluzione

a) Progetto statico

L’errore a gradino sull’uscita vale: S_d (s) = ; l’errore a regime provocato dal solo disturbo si determina trasformando il sistema in modo da avere reazione unitaria e annullando il segnale d’ingresso, come rappresentato in fig. 7. I segnali in figura sono in funzione di s anche se non indicato per brevità; il blocco di reazione H ≡ K_T  è stato trasferito sull’ingresso, per rendere unitaria la reazione.

Con l’ingresso S_i = 0, dallo schema di fig. 7, risulta: S_e(s) = - S_ud (s) che è il segnale d’uscita dovuto al solo disturbo, ma:

S_ud(s) = S_d(s) + S_e(s)[×G_R(s) ×A(s) ×G_S(s) ×k_T]  quindi: S_e(s) = - S_d(s) + S_e(s)×[G_R(s) ×A(s) ×G_S(s) ×k_T]  da cui:

;

per il teorema del valore finale, il valore dell’errore a regime dovuto al solo disturbo a gradino (trascurando il segno negativo), è:

s_e = .

L’espressione di A(s) si ricava dai dati del problema: assumendo t_a = 5t  (vedi scheda 30, tab.1), risulta t = 1 [ms] e la F. di T. dell’amplificatore risulta:

Sostituendo nella espressione di s_e, calcolando il limite e ponendo s_e = 0,05 [V] a regime, risulta: G_R0 ³ 99.

a) Progetto dinamico

Il guadagno in catena aperta del sistema è: .

L’analisi può essere condotta con i metodi della geometria analitica sul diagramma di Bode o con Matlab; con questo strumento software, si ricavano i valori indicati nella colonna a sinistra della tab. 5.

Tab. 5

Dall’analisi dei parametri in assenza della rete correttrice, il sistema risulta stabile, ma non rispetta i requisiti imposti; anche la banda del sistema in catena chiusa W(jω) risulta:= 30,6 < 50  [rad/s].  Si inserisce nel blocco controllore una rete anticipatrice attiva (tab. 1), utilizzando il metodo di annullamento polo-zero in modo da annullare il polo centrale e inserire un polo di una decade superiore, per cui risulta:  

e, per il sistema in catena aperta: .

Si ottengono i parametri della colonna di destra di tab. 5, che soddisfano pienamente i parametri richiesti; questo vale anche per la banda, infatti si ricorda che la pulsazione di transizione del guadagno in catena aperta coincide con la pulsazione di taglio superiore del sistema in catena chiusa W(s), per cui si ha  = 77,5 [rasd/s].